TUTORIA 4

¿Qué es la diferenciación numérica?👇

Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función. Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)). Elegir un número pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo o negativa. Te brindaremos un video como ejemplo:

¿Cómo se describe el método de integración numérica del trapecio?

La integración numérica con la regla del trapecio usa un polinomio de primer grado. Es la primera de las formulas cerradas de Newton-Cotes.

$I = \int_a^b f(x) dx \cong \int_a^b f_1 (x) dx$

usando el rango entre [a,b] el polinomio se aproxima con una línea recta:

$f_1 (x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)$

el área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b. El resultado del integral es la regla del trapecio:

$I = (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}$

que se interpreta como la multiplicación entre la base y altura promedio de un trapecio. También se llega al resultando sumando las áreas de sus componentes: rectángulo y triángulo. Error de truncamiento se encuentra como el integral del término que le sigue al polinomio de Taylor en la aproximación, es decir el de grado 2, que al integrarlo tiene un orden de h3.

$error_{truncar} = -\frac{h^3}{12}f''(z)$

a < z < b

¿Cómo se describe el método de integración numérica de Simpson?

Brindamos un ejemplo de un procedimiento Simpson

En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre x_i y x_i+2, y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos (x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1), y (x_i+2, y_i+2).

¿De qué otros métodos de integración numérica se pueden hablar?

El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. 

El método se define de forma recursiva así:

${\displaystyle R(0,0)={\frac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b))}$

${\displaystyle R(n,0)={\frac {1}{2}}R(n-1,0)+h_{n}\sum _{k=1}^{2^{n-1}}f(a+(2k-1)h_{n})}$

${\displaystyle R(n,m)=R(n,m-1)+{\frac {1}{4^{m}-1}}(R(n,m-1)-R(n-1,m-1))}$

o

${\displaystyle R(n,m)={\frac {1}{4^{m}-1}}(4^{m}R(n,m-1)-R(n-1,m-1))}$

donde

${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle h_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}.}$