Métodos Numéricos: febrero 2022

¿Qué es la diferenciación numérica?👇

Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función. Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)). Elegir un número pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo o negativa. Te brindaremos un video como ejemplo:

¿Cómo se describe el método de integración numérica del trapecio?
La integración numérica con la regla del trapecio usa un polinomio de primer grado. Es la primera de las formulas cerradas de Newton-Cotes.
$I = \int_a^b f(x) dx \cong \int_a^b f_1 (x) dx$

usando el rango entre [a,b] el polinomio se aproxima con una línea recta:
$f_1 (x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)$
el área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b. El resultado del integral es la regla del trapecio:
$I = (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}$
que se interpreta como la multiplicación entre la base y altura promedio de un trapecio. También se llega al resultando sumando las áreas de sus componentes: rectángulo y triángulo. Error de truncamiento se encuentra como el integral del término que le sigue al polinomio de Taylor en la aproximación, es decir el de grado 2, que al integrarlo tiene un orden de h3.
$error_{truncar} = -\frac{h^3}{12}f''(z)$
a < z < b
¿Cómo se describe el método de integración numérica de Simpson?

Brindamos un ejemplo de un procedimiento Simpson
En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre x_i y x_i+2, y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos (x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1), y (x_i+2, y_i+2).

¿De qué otros métodos de integración numérica se pueden hablar?
El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables.
El método se define de forma recursiva así:
$R(0,0)={\frac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b))$
$R(n,0)={\frac {1}{2}}R(n-1,0)+h_{n}\sum _{k=1}^{2^{n-1}}f(a+(2k-1)h_{n})$
$R(n,m)=R(n,m-1)+{\frac {1}{4^{m}-1}}(R(n,m-1)-R(n-1,m-1))$
o
$R(n,m)={\frac {1}{4^{m}-1}}(4^{m}R(n,m-1)-R(n-1,m-1))$
donde
$n\geq 1$
$m\geq 1$
$h_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}.$

¿Qué son los métodos numéricos?

Son técnicas que permiten dar solución a problemas matemáticos mediante operaciones

aritméticas. Los análisis numéricos realizados por estos métodos permiten “aproximar” eficientemente una solución a un problema determinado.

El objetivo principal de los métodos numéricos es encontrar una manera más sencilla de solucionar un problema complejo simplemente basándose en operaciones aritméticas simples.

¿Qué es un algoritmo?

En matemáticas, lógica, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo es un conjunto de instrucciones o reglas bien definidas que puede entenderse e interpretarse de diversas maneras, reglas ordenadas y finitas que permite, típicamente resolver un problema específico, realizar un cómputo, procesar datos y realizar tareas o actividades.

¿Para qué sirven?

Sirven para la resolución de problemas mediante tareas o actividades que se estipulan de forma secuencial y con instrucciones finitas. Es preciso recordar que los algoritmos se pueden implementar en distintas ramas del conocimiento y son aplicables tanto para problemas muy sencillos como para problemas complejos.

¿Qué es un error y cómo se clasifican?

Un error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. El origen de los errores está en múltiples causas y atendiendo a estas, los errores se pueden clasificar en errores sistemáticos y errores accidentales.

Errores sistemáticos: son aquellos errores que se repiten constantemente en el transcurso de un experimento. Afecta a todas las mediaciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Las causas probables pueden ser:

Errores instrumentales (de instrumentos).
Errores personales (de las personas).
Errores de elección del método (métodos no adecuados para el manejo del problema).

Errores accidentales: son variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. No existe una causa predeterminada para este tipo de errores siendo incontrolables para el observador. Alteran la medida realizada tanto por exceso como por defecto. El origen de estos errores accidentales puede ser:

El cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno.
Errores de apreciación del observador.
Errores de precisión del dispositivo de medida.
Etc.

¿Cuál es la diferencia entre un método cerrado y un método abierto para la localización de una raíz?

Método cerrado o de intervalo: este tipo de método requiere de dos valores iniciales para encontrar la raíz. Como indica su nombre, estos dos valores deben encerrar la raíz para que funcione. Esto se debe a que quiere reducir la este intervalo con el fin de asegurar que el método converge.
Método abierto: Este método puede obtener uno o más valores, pero no necesariamente debe encerrar la raíz, dichos valores en algunos casos pueden divergir mientras avanza el cálculo. Muchos prefieren este tipo de método, dado que cuando este converge, generalmente es más rápido que los métodos cerrados.

En conclusión, la diferencia entre ambos métodos cerrado y abierto, es la diferencia de valores iniciales para su funcionamiento y la necesidad de cerrar o no la raíz.

Los métodos numéricos utilizados para el cálculo de raíces son:

Bisección: Este método recibe un intervalo que debe de encerrar una de las raíces reales de la función. Este intervalo debe estar compuesto por dos números que, evaluados en la función, tengan un signo contrario. Un error y una tolerancia. Por último, es importante que la función sea continua, pues, si en algún punto dentro del intervalo la función no está determinada, es posible que no funcione correctamente la función.

Newton-Raphson: Esté método requiere de la derivada de la función en cuestión. La función, del mismo modo, tiene que ser continua. Se requiere de una aproximación inicial a la raíz real. Por último se requiere de un error y una tolerancia.

Secante: La función tiene que ser continua. Se requiere, también, un error y una tolerancia. Se utilizan dos valores, que no necesariamente encierran a la raíz, X0 y X1 para trazar la línea tangente utilizada.

Lin Bairstow: La función tiene que ser polinomial, para que sea posible calcular el factor de segundo grado.Un error o tolerancia, para aproximar al valor real. Se requieren valores r y s para la construcción de un factor cuadrático, que será modificado a través de las iteraciones hasta que el residuo de la división sintética entre el polinomio original y el factor den como resultado 0 (cero).

Bibliografía

Webgrafía

https://www.google.com/search?q=que+es+un+algoritmo&rlz=1CAPFDC_enCO985&sxsrf=APq-WBvGRTc3EQe88VmN6qDdLPI57wciHA:1644106570639&tbm=isch&source=iu&ictx=1&vet=1&fir=BfHpwnUtBFScSM%252C3hUzXaZG90i9RM%252C%252Fm%252F0jpv%253BLpwNc_vcmtpD6M%252C_jeQeVgc487UnM%252C_%253BkRQh52s2xwMdxM%252C42jljBIJvlCrvM%252C_%253Bu41xvNHDNyMt0M%252CCluDHYYWFiMYcM%252C_%253BFMbOSczNFG0DLM%252CSW9aCQEy-E3rGM%252C_%253BJ3cMdVHty5iwdM%252CwbSaw2NKINcZ6M%252C_%253B2MldBi4S-0NRnM%252CeMxG7Woky7-euM%252C_&usg=AI4_-kRWKzuyOgBGGguBIhpijimajnKdRg&sa=X&sqi=2&ved=2ahUKEwj0-PWg5un1AhXCAxAIHcaIBzcQ_B16BAg1EAE&biw=679&bih=738&dpr=1.25#imgrc=J3cMdVHty5iwdM

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https://www.soydocentemaestroyprofesor.com/2017/10/que-es-un-algoritmo-en-la-ensenanza-de.html

http://webpersonal.uma.es/~JMPEULA/teoria_de_errores.html#:~:text=El%20error%20se%20define%20como,errores%20sistem%C3%A1ticos%20y%20errores%20accidentales.

https://metodosnumericos426.wordpress.com/2017/03/08/comparativo/#:~:text=Solo%20hay%20dos%20tipos%20de,la%20ra%C3%ADz%20para%20que%20funcione.&text=El%20m%C3%A9todo%20abierto%20puede%20obtener,necesariamente%20debe%20encerrar%20la%20ra%C3%ADz.